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教学随笔

如何培养学生的数形结合能力

    在解决数知识题时,根据问题的背景和可能,使数的问题,借助形去观察,而形的问题,借助数去思考,采用这种“数形结合”来解决问题的策略,大家称之为“数形结合的思想方法”。

    它的主要特点:数 问题解决;或形 问题解决。也就是说:“以形助数”、“以数赋形”两种处理问题的途径,这本身体现了转化的思想,化归的思想。数形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相适应的几何图形,并利用图形的特性和规律,解决数的问题;或将形的信息或全部转化成代数信息,削弱或消除形的推理部分,使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。

但是数形结合容易出错误,因此根据题目的特点,讲完题目后,我每每告诫同学们,要做到“不唯书,不唯上,不唯权威,不唯眼睛。”同时恰时恰点的引用华罗庚先生的诗来说明数形结合应注意的什么。“数形本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休。几何代数统一体,永远联系莫分离。”

下面我就结合人教B版必修五个模块的内容,具体谈一下如何培养学生的数形结合能力。

必修(1)第一章集合:如果是抽象集合常用维恩图,如果是数集常用数轴,如果是点集常用坐标系,把抽象的问题具体化,以形助数。

第二章函数:一次函数和二次函数是学生早已熟悉的,通过本章学习进一步加强了数形结合的思想,通过函数的图象、函数的五大性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)呼之欲出。通过函数的图象,进一步明确方程的根即函数的零点就是函数图象与坐标轴的交点。

第三章指、对、幂函数的学习中,要熟记其图象便于解题,另外在练习中出现了超越不等式,解超越方程式不等式时常用数形结合法,在此大家要理解数形结合思想下方法是不同的,方法是具有可操作性的,要个别记忆,而思想是普遍的,渗透在各章中每一个角落。例如课本P1318题、P1327题,题目均要求画出图形加以说明。

必修(2)第一章立体几何初步,主要是通过常见几何体来直观确认空间位置关系,并落实到度量和计算,及用逻辑推理来进一步点、线、面之间的关系。由具体到抽象,符合人的认知规律,如同小孩子过家家,先把玩玩具,然后将它大卸八块,认识其机理。

第二章平面解析几何初步,直线与圆更是数形结合的最佳结合点,因为圆有良好的几何性质,既是中心对称图形又是轴对称图形,所以解决圆的问题常用数形结合。

必修(3)第一章算法初步,用框图来表示算法,把文字语言用图形语言来表现,直观简明,一图胜万言。由此我联想到爱因斯坦,他在演讲时,把几千字的演讲稿,只用巴掌大的纸来画图表示,从而加强记忆。由此可以看出  图的作用是多么巨大。

第二章统计,用茎叶图,频率分布直方图来表示数据的特征,用散点图、回归直线来表示两个变量的相关程度,都是数形结合的典范。

第三章概率用维思图来说明王斥事件简单明了,易于接受。古典概型中用坐标系来找基本事件部分,如P1135,用树形图来找基本事件总数,如P1146,几何概型中更是离不开图,无论是面积比、体积比还是长度比的几何概型都要借助图形来推理计算。

必修(4)第一章,三角函数中的单位圆中的三角函数线及三角函数的图象在解题中经常用到。

第二章平面向量是联系几何、代数与三角的桥梁,因此本章时时围绕图形进行说明有关运算法则及运算律。

必修(5)第一章解三角形要抓住三角形进行数量关系的分析,才能用好正余弦定理及三角函数的有关常识。

第二章数列是一类特殊的函数,等差数列的通项公式是一次函数,它表示一次函数图象上的孤立点,前几项和公式是二次函数,它表示二次函数图象上的孤立点,等比数列的通项公式是一个非零常数与一个指数函数的积,其图象是一条指数函数图象的曲线。

第三章不等式:均值不等式的推导借助了几何证明,同时大家要在使用均值不等式时,借助双钩函数的图象,进一步加强应用,一元二次不等式借助函数的图象来说明:“小于零中间找,大于零两边跑”。线性规划更是大家加强数形结合的好素材,应用时画图要准确,找对可行域,从而才能用好图形。

总之必修课程(新教材)五个模块中,每一章均渗透了数形结合思想,也就要求大家对这种思想方法进一步总结,找到规律和注意点,加强数形结合,也就加强了左右脑互动,掀起“脑风暴”,有利于创造思维的培养,有利于创新人才的培养。

 

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